Halaman Isi: Menyelesaikan SPLDV dengan Cara Invers

2. Menyelesaikan Persamaan Linear Menggunakan Invers Matriks

Ayo ingat kembali bentuk umum SPLDV dan invers sebelum belajar tentang penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan menggunakan invers matriks ini.

Apabila kalian sudah mengingatnya, ayo perhatikan ilustrasi berikut ini:

Ani dan Andi membeli pena dan pensil di Koperasi Sekolah. Ani membeli 3 buah pena dan 2 buah pensil dengan membayar Rp. 11.500. Sedangkan Andi membeli 1 buah pena dan 2 buah pensil dengan membayar Rp. 6.500. Ayo tebak berapakah harga 1 buah pena dan 1 buah pensil di Koperasi tersebut?

Ilustrasi tersebut adalah salah satu contoh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dalam kehidupan sehari-hari. Pada bab sebelumnya, kalian telah belajar menyelesaikannya metode grafik, metode substitusi, metode eliminiasi, dan metode eliminasi-substitusi.

Nah topik kali ini, kalian akan belajar menyelesaikannya dengan menggunakan invers matriks. Untuk lebih jelasnya, mari simak uraian berikut ini.

Konsep

Misalkan terdapat sistem persamaan linear dua variabel berikut.
ax + by = p
cx + dy = q

Sistem persamaan linear dua variabel tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan matriks seperti di bawah ini.

$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p\\ q \end{bmatrix}$

Persamaan matriks di atas dapat diselesaikan dengan sifat matriks berikut.

Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah:

Dari uraian tersebut, dapat kita simpulkan bahwa:

Setelah memahami konsep tersebut, ayo selesaikan permasalahan pada ilustrasi tadi dengan memisalkan:

x = harga pena

y = harga pensil

Maka, sistem persamaan linear dua variabel yang terbentuk dari ilustrasi tersebut adalah:

3x + 2y = 11500

x + 2y = 6500

Kemudian, ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks berikut:

$\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 11500\\ 6500 \end{bmatrix}$

Penyelesaian dari persamaan matriks tersebut dapat kita tentukan dengan menggunakan invers matriks berikut:

Jadi, diperoleh harga 1 buah pena Rp. 2500, dan 1 buah pensil Rp. 2000.

Agar kalian lebih paham lagi, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan invers matriks.

3x − 2y = 52
x + y = 8

Jawab:

Mula-mula, ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks berikut.

$\begin{bmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 8 \end{bmatrix}$

Kemudian, tentukan penyelesaiannya dengan menggunakan invers matriks seperti berikut.

$\begin{bmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 8 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 &-2 \\ 2 &1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 5\\ 8 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\frac{1}{3.1-(-2.2)}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5\\ 8 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\frac{1}{7}\begin{bmatrix} 21\\ 14 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}$

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah {3,2}.

Nah, kalian telah selesai belajar tentang cara menyelesaikan SPL dengan menggunakan determinan matriks dan invers matriks. Agar pemahaman kalian bertambah lagi, yuk kerjakan latihan soal-soal berikut ini.

Tes Kegiatan Belajar 5

Kamu bisa simpan materi lengkap kegiatan belajar 5 ini dengan mengklik 'Download' dibawah ini dan kemudian unduh dalam handphone mu. Good Luck :)

Matriks Math

Menyelesaikan SPLDV dengan Cara Invers