Halaman Isi: Kegiatan Belajar II

Tujuan Kegiatan Belajar II
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan dapat:

Menjelaskan syarat penjumlahan dan pengurangan matriks.
Menyelesaikan penjumlahan matriks.
Menyelesaikan pengurangan matriks.

Materi Pembelajaran

Ayo Ingat Kembali!

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.

Deskripsikan sifat komutatif yang berlaku pada penjumlahan bilangan real.
Deskripsikan sifat asosiatif yang berlaku pada pengurangan bilangan real.
Apakah pada pengurangan bilangan real berlaku sifat komutatif dan

asosiatif? Jelaskan!

Lihatlah slide berikut ini agar kamu dapat menjawab pertanyaan diatas.

1. PENJUMLAHAN MATRIKS

Sebagai gambaran awal tentang pengertian dan aturan penjumlahan matriks, perhatikan permasalahan berikut ini.

"Helma dan Tengku adalah siswa teladan dari SMK Nurul Falah Pekanbaru yang akan mengikuti seleksi siswa teladan tingkat kota Pekanbaru. Penentuan siapa yang berhak mengikuti seleksi tersebut didasarkan pada jumlah nilai mata pelajaran Matematika dan Bahasa Inggris kelas X semester 1 dan semester 2. Nilai kedua mata pelajaran yang dicapai oleh Helma dan Tengku diperlihatkan dalam tabel berikut:

Siapakah dari kedua calon tersebut yang lebih berhak mewakili SMK Nurul Falah Pekanbaru dalam mengikuti seleksi siswa teladan tingkat kabupaten?

Berdasarkan data pada tabel diatas, diketahui jumlah nilai untuk mata pelajaran Matematika dan Bahasa Inggris yang diraih Tengku lebih tinggi dari nilai yang diraih Helma. Dengan demikian, Tengku lebih berhak mengikuti seleksi siswa teladan tingkat kabupaten untuk mewakili SMK Nurul Falah Pekanbaru.

Apabila siswa teladan yang diseleksi ditambah sebanyak 5 siswa dan nilai yang dijadikan pertimbangan adalah nilai Matematika, Bahasa Inggris, Bahasa Indonesia, dan Akuntansi. Adakah cara yang lebih sederhana untuk menjumlahkan nilai-nilai tersebut? Untuk data yang lebih besar, kalian dapat menggunakan penjumlahan matriks untuk memudahkan perhitungan suatu data. Bagaimana syarat dan aturan penjumlahan matriks?

Perhatikan uraian di bawah ini!

Data pada tabel diatas, dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut.

Matriks A menunjukkan nilai Matematika dan Bahasa Inggris yang diperoleh Helma dan Tengku pada semester 1.
Matriks B menunjukkan nilai Matematika dan Bahasa Inggris yang diperoleh Helma dan Tengku pada semester 2.
Matriks C menunjukkan jumlah nilai Matematika dan Bahasa Inggris yang diperoleh Helma dan Tengku pada semester 1 dan 2.

Diperoleh,
$A=\begin{bmatrix} 84 & 83\\ 87 & 90 \end{bmatrix} B=\begin{bmatrix} 83 & 85\\ 89 & 88 \end{bmatrix} C=\begin{bmatrix} 167 & 168\\ 176& 178 \end{bmatrix}$

Jumlah nilai Matematika dan Bahasa Inggris yang diperoleh Helma dan Tengku pada semester 1 dan 2 diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen pada matriks A dengan elemen-elemen pada matriks B yang bersesuaian (seletak) sebagai berikut:
$A+B= \begin{bmatrix} 84 & 83\\ 87 & 90 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 83 & 85\\ 89 & 88 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 84+83 &83+85 \\ 87+89& 90+88 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 167 &168 \\ 176 & 178 \end{bmatrix}$

Perhatikan ordo matriks A dan B. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B yaitu 2×2. Hasil penjumlahan kedua matriks merupakan matriks berordo 2×2 pula.

Penjumlahan matriks A dengan matriks B dilakukan dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian (seletak).

Syarat dan aturan penjumlahan matriks dapat dirumuskan sebagai berikut:

Dua matriks dapat dijumlahkan apabila ordo kedua matriks adalah sama.

$A_{mxn} + B_{mxn} = C_{mxn}$

Penjumlahan matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen matriks yang bersesuaian (seletak).

$A=\begin{bmatrix} a & b\\ c& d \end{bmatrix} B=\begin{bmatrix} p & q\\ r& s \end{bmatrix}$ $A+B= \begin{bmatrix} a & b\\ c& d \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} p & q\\ r& s \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a+p & b+q\\ c+r& d+s \end{bmatrix}$

Pada bilangan real, dikenal lawan atau negatif terhadap penjumlahan. Misalnya, lawan dari 5 adalah -5.
Bagaimana dengan penjumlahan matriks? Adakah lawan atau negatif terhadap penjumlahan matriks?

Perhatikan contoh berikut!

Diketahui matriks-matriks:
$A=\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2 &4 \end{bmatrix} B=\begin{bmatrix} -1 &-3 \\ -2 &-4 \end{bmatrix}$

Akan ditentukan hasil penjumlahan dari A + B dan B + A.

$A+B=\begin{bmatrix} 1+(-1)) & 3+(-3)\\ 2+(-2)& 4+(-4) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{bmatrix}=0$ $B+A=\begin{bmatrix} (-1)+1 & (-3)+3\\ (-2)+2& (-4)+4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{bmatrix}=0$

Apabila kalian perhatikan, elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B saling berlawanan. Matriks B disebut lawan atau negatif dari matriks A. Lawan atau negatif dari matriks A dituliskan -A. Jadi, B = -A.
Dari penjumlahan di atas, diperoleh:

A + B = B + A = 0

> A + (-A) = (-A) + A = 0

Jadi, hasil penjumlahan suatu matriks dengan lawan dari matriks tersebut adalah matriks O (matriks nol).

Lihat Contoh Soal 3

2. PENGURANGAN MATRIKS

Setelah mempelajari penjumlahan matriks pada materi sebelumnya, pada uraian materi ini kalian akan mempelajari tentang pengurangan matriks. Bagaimana aturan yang berlaku pada pengurangan matriks?

Perhatikan masalah berikut!

"Tahukah kalian aktiva yang dimiliki suatu perusahaan pasti mengalami penyusutan? Misalnya mesin yang digunakan untuk produksi, tentu dalam jangka waktu tertentu nilainya lebih rendah dibandingkan ketika mesin tersebut dibeli. Seorang karyawan pabrik tekstil menyusun tabel aktiva mesin dan penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10% dari harga pembelian sebagai berikut.

Harga baku mesin 1, 2, dan 3 diperoleh dari harga pembelian mesin dikurangi besar penyusutan mesin. Permasalahan pengurangan di atas cukup sederhana sehingga dapat diselesaikan seperti pengurangan bilangan real pada umumnya. Bagaimana jika banyak data yang harus dikurangkan lebih besar? Untuk banyak data yang lebih besar, kalian dapat menggunakan pengurangan matriks untuk memudahkan dalam perhitungan suatu data. Bagaimana syarat dan aturan pengurangan matriks?

Perhatikan uraian berikut!

Data pada Tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut. Matriks A menunjukkan harga pembelian mesin 1, 2, dan 3. Matriks B menunjukkan penyusutan mesin 1, 2, dan 3 selama 1 tahun, serta matriks C menunjukkan harga baku mesin setelah penyusutan 1 tahun.
Diperoleh,

$A=\begin{bmatrix} 30\\ 60\\ 50 \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} 3\\ 6\\ 5 \end{bmatrix} C=\begin{bmatrix} 27\\ 54\\ 45 \end{bmatrix}$

Harga baku mesin 1, 2, dan 3 setelah terjadi penyusutan satu tahun dapat ditentukan dengan mengurangkan elemen-elemen pada matriks A dengan elemen- elemen pada matriks B yang bersesuaian (seletak).

$A-B=\begin{bmatrix} 30\\ 60\\ 50 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3\\ 6\\ 5 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 27\\ 54\\ 45 \end{bmatrix}=C$

Perhatikan ordo matriks A dan B. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B yaitu 3×1. Hasil pengurangan kedua matriks merupakan matriks berordo 3×1 pula. Pengurangan matriks di atas dilakukan dengan mengurangkan setiap elemen pada matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian (seletak).

Syarat dan aturan pengurangan matriks dapat dirumuskan sebagai berikut.

Dua matriks dapat dikurangkan apabila ordo kedua matriks sama.

$A_{mxn} - B_{mxn} = C_{mxn}$

Pengurangan matriks dilakukan dengan cara mengurangkan elemen-elemen matriks yang bersesuaian (seletak).

$A=\begin{bmatrix} a & b\\ c& d \end{bmatrix} B=\begin{bmatrix} p & q\\ r& s \end{bmatrix}$

$A-B= \begin{bmatrix} a & b\\ c& d \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} p & q\\ r& s \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a-p & b-q\\ c-r& d-s \end{bmatrix}$

Setelah mengetahui aturan pada pengurangan matriks, menurut kalian, adakah hubungan antara penjumlahan dan pengurangan matriks?
Untuk mengetahui jawabannya, perhatikan uraian berikut!

Diketahui matriks A, B, dan –B,

$A=\begin{bmatrix} 3 &-1 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} B=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} -B=\begin{bmatrix} -1 & -2\\ -3 & -4 \end{bmatrix}$

Selanjutnya dilakukan penjumlahan A + (-B).

$A+(-B)=\begin{bmatrix} 3 &-1 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -1 & -2\\ -3 & -4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3-1 &-1-2 \\ -2-3 &4-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&-3 \\ -5& 0 \end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 3 &-1 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3-1 &-1-2 \\ -2-3 &4-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&-3 \\ -5& 0 \end{bmatrix}$

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa pengurangan matriks A dan B (ditulis A − B) dapat pula ditentukan dengan menjumlahkan matriks A dengan lawan atau negatif dari matriks B.

$A+(-B)=A-B$

Lihat Contoh Soal 4

Kamu bisa simpan materi lengkap kegiatan belajar 2 ini dengan mengklik 'Download' dibawah ini dan kemudian unduh dalam handphone mu. Good Luck :)

Download Materi

Matriks Math

Kegiatan Belajar II