Halaman Isi: Kegiatan Belajar V

TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan dapat:

Menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan konsep determinan dan invers matriks.

MATERI PEMBELAJARAN

Pada bab sebelumnya kalian telah mempelajari penyelesaian sistem persamaan linier dengan menggunakan metode subtitusi dan eliminasi. Pada bagian ini, kalian akan menggunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Pemahaman yang baik tentang determinan dan invers matriks akan sangat membantu dalam menyelesaikan sistem persamaan linier.

Aplikasi Matriks pada Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

1. Menyelesaikan SPLDV Menggunakan Determinan

Sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan determinan matriks yang disebut dengan metode atau aturan Cramer. Determinan merupakan suatu bilangan yang berkaitan dengan elemen-elemen diagonal utama dan elemen-elemen diagonal samping sebuah matriks. Determinan hanya berlaku pada matriks persegi, misalnya pada matriks ordo 2 x 2 seperti yang telah kalian pelajari sebelumnya. Pemahaman kalian tentang determinan tersebut akan sangat membantu kalian dalam mempelajari topik ini.

Ayo ingat kembali!

Setelah mengingat kembali tentang determinan, sekarang mari perhatikan ilustrasi berikut ini.

Buk Ani membeli 3 kg gula dan 1 kg mentega seharga Rp 44.000,00. Di tempat yang sama, Buk Beti membeli 1 kg gula dan 2 kg mentega seharga Rp 28.000,00. Berapakah harga 1 kg gula dan 1 kg mentega tersebut?

Kalian tentu telah mampu menyelesaikan permasalahan tersebut dengan menggunakan invers matriks.
Lalu, bagaimana jika kita ingin menyelesaikannya dengan menggunakan determinan? Untuk mengetahuinya, mari pelajari dahulu uraian beikut ini.

Konsep
Misalkan terdapat sistem persamaan linear dua variabel berikut.
ax + by = p
cx + dy = q
Dengan metode eliminasi, diperoleh:

Dengan cara yang sama, didapatkan nilai x:

Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai x dan y dapat dicari dengan cara berikut.

Metode di atas disebut dengan metode determinan atau aturan Cramer yang dirumuskan sebagai berikut.

Misalkan terdapat sistem persamaan linear dua variabel berikut.

ax + by = p

cx + dy = q
Jika disajikan dalam bentuk matriks, maka diperoleh:
$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p\\ q \end{bmatrix}$
Misalkan:
$A=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} B=\begin{bmatrix} p\\ q \end{bmatrix}$

Nilai x dan y dapat ditentukan dengan aturan Cramer berikut:

$X =\frac{D_{x}}{D}$ dan $Y =\frac{D_{y}}{D}$

Keterangan:

D = ad−bc adalah determinan matriks A.
Dx = pd−qb adalah determinan matriks A yang kolom pertamanya diganti dengan elemen matriks B.
Dy = aq−cp adalah determinan matriks A yang kolom keduanya diganti dengan elemen matriks B.

Setelah memahami konsep tersebut, mari kita selesaikan permasalah pada ilustrasi di atas dengan menggunakan metode determinan.

Misalkan:
x = harga gula
y = harga mentega

Sistem persamaan linear dua variabel yang terbentuk dari ilustrasi tersebut adalah:
3x + y = 44000
x + 2y = 28000
Kemudian, ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks berikut:

$\begin{bmatrix} 3&1 \\ 1& 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 44000\\ 28000 \end{bmatrix}$
Selanjutnya, tentukan tentukan nilai D, Dx, dan Dy.

D merupakan determinan dari matriks
$\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ maka, $D=\begin{vmatrix} 3& 1\\ 1&2 \end{vmatrix}= 3.2-1.1=5$

Dx merupakan determinan matriks $\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ yang kolom pertamanya diganti dengan $\begin{bmatrix} 44000\\ 28000 \end{bmatrix}$

Maka,

$D_{x}=\begin{vmatrix} 44000 &1 \\ 28000 & 2 \end{vmatrix} =44000.2-28000.1=60000$

Dy merupakan determinan matriks $\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ yang kolom keduanya diganti dengan $\begin{bmatrix} 44000\\ 28000 \end{bmatrix}$

Maka,

$D_{y}=\begin{vmatrix} 3 &44000 \\ 1 & 28000 \end{vmatrix} =3.28000-44000.1=40000$

Dengan menggunakan aturan Cramer, nilai x dan y dapat ditentukan sebagai berikut:
$x = \frac{D_{x}}{D}= \frac{60000}{5}=12000$

$y = \frac{D_{y}}{D}= \frac{40000}{5}=8000$

Jadi, harga 1 kg gula adalah Rp 12.000,00 dan harga 1 kg mentega adalah Rp 8.000,00.

Agar kalian lebih paham lagi, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode determinan.

x + 5y = -13
4x - 6y = 24
Jawab:
Mula-mula, nyatakan SPLDV tersebut dalam bentuk matriks berikut.
$\begin{bmatrix} 1 & 5\\ 4 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -13\\ 24 \end{bmatrix}$
Kemudian, tentukan D, Dx, dan Dy.
$D=\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 4 & -6 \end{vmatrix}=1.(-6)-5.4=-26$

$D_{x}=\begin{vmatrix} -13 & 5\\ 24 & -6 \end{vmatrix}=-13.(-6)-5.24=-42$ $D_{y}=\begin{vmatrix} 1 & -13\\ 4 & 24 \end{vmatrix}=1.24-(-13).4=76$

Dengan menggunakan aturan Cramer, nilai x dan y dapat ditentukan sebagai berikut.

$x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{-42}{-26}=\frac{21}{13}$
$y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{76}{-26}=\frac{19}{9}$

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah $\left \{ \frac{21}{13},\frac{19}{9} \right \}$ .

Bagaimana dengan sistem persamaan linier tiga variabel? Dapatkah diselesaikan dengan determinan matriks pula? Untuk mengetahui jawabannya, perhatikan uraian berikut.

Bentuk umum dari sistem persamaan linier tiga variabel adalah

Analogi dengan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel, maka dapat diperoleh determinan-determinan sebagai berikut.

Berdasarkan keempat nilai determinan di atas, maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier tiga variabel dapat diperoleh dengan cara:

$x=\frac{D_{x}}{D}, y=\frac{D_{y}}{D}, z=\frac{D_{z}}{D}$

Lihat Contoh Soal

Matriks Math

Kegiatan Belajar V